Определение коэффициентов канонических уравнений

Расчет на крепкость плоской статической

Неопределимой рамы

Рис. 2.1. Задание. Для представленной на рис. 2.1 рамы нужно: 1. Раскрыть статистическую неопределимость и выстроить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. 2. Из условия прочности по обычным напряжениям извива (материал рамы – ст.3) подобрать размеры поперечного сечения.

Начальные данные

l, м к F, кН М, кН м q Определение коэффициентов канонических уравнений, кН/м
2,4 0,6

Раскрытие статической неопределимости.

2.1.1. Определение степени статической неопределимости.

Степень статической неопределимости определяется числом «лишних» исходя из убеждений условии равновесия и геометрической неизменяемости и определяется по зависимости

n = C0 + 2 ш + 3 к – 3 D,

где со – число наружных связей, Ш – число внутренних шарниров,

к – число замкнутых контуров, D – число дисков (самостоятельных единиц).

В нашем случае Определение коэффициентов канонических уравнений C0 = 5; ш = 0, к = 0, D = 1, тогда

n = 5 + 2 . 0 + 3 . 0 – 3 . 0 = 2.

Данная рама является два раза статически неопределимой. Раскрытие статической неопределимости выполним способом сил [1].

Выбор основной и эквивалентной систем

Основная система (ОС) выходит из данной системы (рис. 2.1) методом отбрасывания нагрузок и «лишних» связей.

Устраним «лишние» связи, сохраняя геометрическую неизменяемость системы, отбросив недвижную опору A. На рис. 2.2. a Определение коэффициентов канонических уравнений показана ОС.

Приложим в ОС заместо отброшенных связей неведомые усилия x1 и x2, надлежащие нраву устраненных связей, также все данные нагрузки. Получим эквивалентную систему (ЭС) (рис.2.2. б).

Составление системы канонических уравнений способа сил

Запишем систему канонических уравнений способа сил в виде

где δii (i = 1, 2) – единичные (удельные) перемещения в точке приложения Xi Определение коэффициентов канонических уравнений в его направлении от Xi = 1 ( ); δij – удельные (единичные) перемещении в точке приложения усилия Xi в его направлении от Xj = 1 ( ); ∆ip – перемещение в точке приложения Xi от данных нагрузок.

Определим коэффициенты δii, δ ij, ∆ip по правилу Верещагина [1].

Построение единичных и грузовых эпюр

Для определения коэффициентов δ11, δ22, δ12 = δ22 построим единичные состояния 1 и Определение коэффициентов канонических уравнений 2. Для этого приложили в основной системе (ос) в направлении x1 единичную силу x1 = 1 ( рис. 2.2, в ), в направлении x2 – единичную силу x2 = 1 (рис.2.2, г).

По известным правилам строим для этих состояний эпюры и , откладывая ординаты на сжатых волокнах.

Построение эпюры .Запишем на каждом расчетном участке (i = 1, 2, 3).

Участок AB; 0 ≤ z1 ≤ kl Определение коэффициентов канонических уравнений =1,44 м

= 1 . z1

Участок BC; 0 ≤ z2 ≤ l = 2,4 м

= 1×kl = 1.44 м.

Участок CD; 0 ≤ z3 ≤ l = 2,4 м

= 1 (kl – z3); (z3 = 0) = 0,6 . 2,4 = 1,44 м;

(z3 = 2,4) = (kl – l) = (1,44 – 2,4) = – 0,96 м.

По приобретенным данным строим (рис. 2.2, д).

Построение эпюры . Запишем на каждом расчетном участке (i = 1, 2, 3).

Участок AB; 0 ≤ z1 ≤ kl =1,44 м.

= 0.

Участок BC; 0 ≤ z2 ≤ l = 2,4 .

= 1 . z2; (0) = 0; (2,4) = 2,4 м.

Участок CD; 0 ≤ z3 ≤ l =2,4 м.

= 1 . l Определение коэффициентов канонических уравнений = 2,4 м.

По приобретенным данным строим (рис. 2.2, е).

Построении грузовой эпюры. ЭМP.Для грузового состояния P (рис. 2.1, ж) запишем MP (zi) на каждом расчетном участке:

Участок AB; 0 ≤ z1 ≤ kl = 1,44 м.

а б
в г
д е

ж з

Рис. 2.2

MP (z1) = 0.

Участок BC; 0 ≤ z2 ≤ l = 2,4 м.

MP (z2) = M – q Определение коэффициентов канонических уравнений (квадратичная парабола).

Вычислим MP в точках B, C и посреди участка BC.

M (z2 = 0) = – M = – 22 кН м; MP (z2 = = 1,2 м)=22 – 5 =–26,5кНм;

M (z2 = 2,7 м) = – 22 – 5 . = – 36,4 кН м.

Участок CD: 0 ≤ z3 ≤ l = 2,4 м.

MP (z3) = – M – + P z3 (линейная зависимость).

MPC (z3 = 0) = – M – = – 22 – . 2,42 = – 36,4 кН м;

MPD (z3 = 2,4 м) = – M – + P l = – 22 – 2,42 + 1,4 . 2,4 = – 2,8 кН м Определение коэффициентов канонических уравнений.

Строим эпюру ЭМP (рис. 2.1, з)

Определение коэффициентов канонических уравнений

Определение коэффициент δ11 и δ22 сводится к умножению эпюр и самих на себя. Разобьем на фигуры с площадью w1, w2, w3, w4:

w1 = . 1,44 . 1,44 = 1,037; w2 = 1,44 . 2,4 = 3,456;

w3 = . 1,44 . 2,4 = 1,728; w4 = . 0,96 . 2,4 = 1,152;

Вычислим значения ординат , , , . взятые в центре масс фигур wi (i = 1, 2, 3, 4).

= . 1,44 = 0,96; = 1,44

= . 1,44 . . 0,96 = 0,64; = . 1,44 . . 0,64 = 0,16.

Тогда

δ11 = Э x Э = [w1 + w2 + w Определение коэффициентов канонических уравнений3 + w4 ] =

= [1,037 . 0,96 + 3,456 . 1,728 . 0,64 + 1,152 . 0,16] = .

Разобьем эпюру Э на w5 и w6, определим положение центров тяжести C5, C6 и значения ординат, взятых в C5, C6. При всем этом

w5 = . 2,4 . 2,4 = 2,88; w6 = 2,4 . 2,4 = 5,76.

5 = . 2,4 = 1,6; 6 = 2,4.

тогда

δ22 = Э 2 x Э 2 = [w5 5 + w6 6] = [2,88.1,6 + 5,76.2,4] =

Вычислим побочные коэффициенты δ12 = δ21 методом перемножения эпюр Э 1 и Э 2.

δ12 = δ21 = Э 1 x Э 2 = = [w2. 7 + w3 . 8 – w4 . 9];

где 7 = . 2,4 = 1,2; 8 = 9 = 2,1.

Тогда δ12 = δ21 = [3,456 . 1,2 + 1,728 . 2,4 – 1,152 . 2,4] =

Определим Определение коэффициентов канонических уравнений свободные члены ∆1P и ∆2P методом перемножение эпюр Э P на эпюры Э 1 и Э 2 соответственно.

∆1P = Э P x Э 1 = [– w7 . 10 . w8 . 11 – w9 . 2 – w3 . 12 + w4. 13],

где w7 = . 22 . 2,4 = 26,4; w8 = . 36,4 . 2,4 = 43,68;

w9 = – = – = -5,76;

10 = 11 = 12 = 1,44; 12 = 2,8 + (36,4 – 2,8) = 25,2;

13 = 2,8 + (36,4 – 2,8) = 14.

Тогда

∆1P = [–26,4.1,44–1,44– 43,68.1,44+5,76.1,44–1,728.25,2+1,152.14]= – .

Вычислим

∆2P = Э P x Э 2 = [–w 7 . 14 – w8 . 5 – w 9 . М15],

где 14 = . 2,4 = 0,8; М15 = = 37,8.

Тогда

∆2P = [– 26,4 . 0,8 – 43,68 . 1,6 + 5,76 . 1,2 – 5,76 . 37,8] = – .

Приобретенные коэффициенты и свободные члены подставим в систему Определение коэффициентов канонических уравнений канонических уравнений способа сил, получим

Решим систему уравнений

X1 = ; X2 = ,

где ∆ = = 103;

∆1 = = 1122; 43; ∆2 = = –766,6

x1 = = 10,9 кН; x2 = = 7,44 кН.


opredelenie-haraktera-defekta-v-transformatore-po-otnosheniyu-koncentracij-par-gazov-kriterij-skorosti-narastaniya-gazov.html
opredelenie-harakteristik-oblachnosti-na-aerod-romah.html
opredelenie-harakteristik-sluchajnih-velichin.html